【大学高数公式大全】在大学阶段，高等数学（简称“高数”）是许多理工科专业学生必修的一门基础课程。它不仅是后续专业课程的理论基础，也是许多实际问题建模和解决的重要工具。而高数的核心内容之一，就是各种公式的掌握与灵活运用。为了帮助同学们更好地理解和记忆这些公式，本文整理了一份全面、系统的“大学高数公式大全”，涵盖微积分、极限、导数、积分、级数、向量代数等多个方面。
一、极限与连续
1. 基本极限公式
- $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
- $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
- $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$
- $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$
2. 无穷小比较
- 若 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$，则 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的低阶无穷小；
- 若 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = C \neq 0$，则 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是同阶无穷小；
- 若 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$，则 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小。
二、导数与微分
1. 导数定义
- $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
2. 基本求导公式
- $(x^n)' = nx^{n-1}$
- $(\sin x)' = \cos x$
- $(\cos x)' = -\sin x$
- $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
- $(e^x)' = e^x$
- $(a^x)' = a^x \ln a$
3. 导数运算法则
- $(u \pm v)' = u' \pm v'$
- $(uv)' = u'v + uv'$
- $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
4. 高阶导数
- $y'' = (y')'$
- $y^{(n)} = \frac{d^n y}{dx^n}$
三、不定积分与定积分
1. 基本积分公式
- $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）
- $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$
- $\int e^x dx = e^x + C$
- $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$
- $\int \sin x dx = -\cos x + C$
- $\int \cos x dx = \sin x + C$
2. 换元积分法
- $\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du$，其中 $u = g(x)$
3. 分部积分法
- $\int u dv = uv - \int v du$
4. 定积分性质
- $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$，其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数
- $\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx$
- $\int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx = \int_a^b f(x) dx$
四、多元函数微分学
1. 偏导数
- $\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$
- $\frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x, y+h) - f(x, y)}{h}$
2. 全微分
- $df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$
3. 方向导数与梯度
- 方向导数：$\frac{\partial f}{\partial l} = \nabla f \cdot \vec{e}_l$
- 梯度：$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$
五、级数与幂级数
1. 常数项级数
- 等比数列求和：$\sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1 - r}$（当 $|r| < 1$）
- 调和级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ 发散
- p-级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ 当 $p > 1$ 时收敛
2. 幂级数展开
- $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$
- $\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
- $\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
六、向量代数与空间解析几何
1. 向量运算
- 向量加法：$\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$
- 向量点积：$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$
- 向量叉积：$\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$
2. 平面与直线方程
- 平面方程：$Ax + By + Cz + D = 0$
- 直线参数式：$\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$
结语
高等数学是一门逻辑严密、内容丰富的学科，掌握好各类公式不仅有助于解题，更能提升对数学本质的理解。希望这份“大学高数公式大全”能成为你学习过程中的得力助手，助你在高数的学习道路上越走越远，越学越精。
温馨提示：公式虽多，但理解其背后的数学思想更为重要。建议结合例题反复练习，做到举一反三，融会贯通。
