【一元二次方程根与系数的关系PPT课件】一、课程导入
在学习一元二次方程的过程中，我们已经掌握了如何求解方程的根。但你是否想过，这些根和方程中的系数之间是否存在某种联系？今天我们将一起探索这个有趣的问题——一元二次方程根与系数之间的关系。
二、知识回顾
1. 一元二次方程的一般形式：
$$ ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0) $$
其中：
- $ a $ 是二次项系数，
- $ b $ 是一次项系数，
- $ c $ 是常数项。
2. 求根公式（求根法）：
对于方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其根为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
三、核心根与系数的关系
我们来研究一下，如果已知一个一元二次方程的两个根 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，那么它们与系数 $ a, b, c $ 之间有什么关系？
1. 根的和（$ x_1 + x_2 $）
根据求根公式：
$$
x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}
$$
所以：
$$
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
$$
2. 根的积（$ x_1 \cdot x_2 $）
同样地：
$$
x_1 \cdot x_2 = \left( \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right) \cdot \left( \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right)
$$
利用平方差公式：
$$
= \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{(2a)^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}
$$
因此：
$$
x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
$$
四、总结规律
对于一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，若其两根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，则有以下关系：
- 根的和：$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $
- 根的积：$ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} $
五、应用举例
例题1：
已知方程 $ 2x^2 - 5x + 3 = 0 $ 的两根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，求：
- $ x_1 + x_2 $
- $ x_1 \cdot x_2 $
解：
- $ x_1 + x_2 = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2} $
- $ x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{2} $
例题2：
已知一元二次方程的一个根是 3，另一个根是 -2，求这个方程。
解：
设方程为 $ ax^2 + bx + c = 0 $，由根与系数的关系：
- $ x_1 + x_2 = 3 + (-2) = 1 = -\frac{b}{a} \Rightarrow b = -a $
- $ x_1 \cdot x_2 = 3 \times (-2) = -6 = \frac{c}{a} \Rightarrow c = -6a $
取 $ a = 1 $，则方程为：
$$
x^2 - x - 6 = 0
$$
六、拓展思考
1. 如果一个一元二次方程的两根互为相反数，那么它的系数应满足什么条件？
2. 如果一个一元二次方程的两根相等，说明这个方程有什么特征？
七、课堂小结
今天我们学习了：
- 一元二次方程的两个根与其系数之间的关系；
- 掌握了根的和与积的计算方法；
- 学会了利用根与系数的关系解决实际问题。
八、课后练习
1. 已知方程 $ 3x^2 + 6x - 9 = 0 $，求其两根的和与积。
2. 若一元二次方程的两根之和为 4，两根之积为 -3，写出这个方程。
3. 判断下列说法是否正确，并解释原因：
- 若 $ x_1 + x_2 = 0 $，则 $ b = 0 $。
- 若 $ x_1 \cdot x_2 = 0 $，则 $ c = 0 $。
下节课我们将进一步探讨根与系数关系在实际问题中的应用。
