【2020高考数学答题技巧47.不等式（秒杀技巧及双绝对值之和）】在高考数学中，不等式的题目往往以形式多变、思路灵活著称。其中，“双绝对值之和”的不等式问题更是考生们常感棘手的一类题型。这类题目通常涉及多个变量的绝对值相加，如 |x - a| + |x - b| 的最小值或取值范围问题。掌握其解题思路与技巧，不仅能够提高解题效率，还能在考试中赢得宝贵的时间。

一、理解“双绝对值之和”的几何意义

对于形如 |x - a| + |x - b| 的表达式，我们可以从数轴上进行直观理解。该式表示的是点 x 到两个定点 a 和 b 的距离之和。根据几何知识，这个和的最小值出现在 x 位于 a 和 b 之间时，此时最小值为 |a - b|。

例如：

| x - 1 | + | x - 3 | 的最小值是 2，当 x ∈ [1, 3] 时取得。

这一结论可以作为快速判断的基础，尤其在选择题或填空题中非常实用。

二、利用分段讨论法求解

对于更复杂的双绝对值不等式，如：

| x - a | + | x - b | ≤ c，

我们可以采用分段讨论法来处理。关键在于找到使绝对值表达式发生变化的临界点（即 a 和 b），然后将整个实数轴划分为若干区间，在每个区间内去掉绝对值符号，转化为普通不等式进行求解。

步骤如下：

1. 找出所有绝对值内部为零的点（即 a 和 b）；

2. 将数轴按这些点划分成若干个区间；

3. 在每个区间内，根据 x 的位置判断绝对值的正负，去掉绝对值符号；

4. 解每个区间的不等式；

5. 合并所有满足条件的解集。

这种方法虽然步骤繁琐，但逻辑清晰，适用于大多数情况。

三、巧用对称性与图像法

在某些情况下，我们可以通过画图或观察函数图像来简化问题。例如：

函数 f(x) = |x - a| + |x - b| 是一个关于 x 的凸函数，其图像呈“V”字形或“W”字形，具体取决于 a 和 b 的位置。

通过分析图像的最低点，我们可以快速得到最小值，进而推导出不等式的解集。

四、秒杀技巧：直接代入法与特殊值法

在面对选择题或填空题时，若时间紧迫，可尝试使用以下方法：

- 代入法：将选项中的数值代入原式，看是否满足不等式；

- 特殊值法：选取一些特殊的 x 值（如 a、b、中间值等）代入，快速判断不等式成立与否。

这些方法虽然不能解决所有问题，但在考试中能有效节省时间，提升做题速度。

五、总结：掌握核心思想，灵活运用技巧

“双绝对值之和”的不等式虽看似复杂，但只要掌握以下几个核心思想：

1. 理解其几何意义；

2. 掌握分段讨论法；

3. 灵活运用图像与对称性；

4. 结合代入与特殊值法快速判断；

就能在高考中轻松应对这类题目，甚至实现“秒杀”。

最后提醒：在备考过程中，建议多做一些类似的练习题，熟悉不同类型的题目变化，做到举一反三，才能真正掌握这门技巧。