在数学学习中，分式的运算是一项基础但重要的内容，尤其是在初中阶段的代数学习中。分式的混合运算不仅涉及到加减乘除的基本操作，还常常需要结合通分、约分以及运算顺序等知识。为了帮助学生更好地掌握这一知识点，下面提供一些具有代表性的分式混合运算练习题，并附上详细的解题思路，便于理解和巩固。
一、基本概念回顾
分式是指形如 $\frac{A}{B}$ 的表达式，其中 $A$ 和 $B$ 是整式，且 $B \neq 0$。分式的混合运算是指在一个算式中同时包含加、减、乘、除四种运算，通常还需要考虑运算的优先级和括号的作用。
二、分式混合运算规则
1. 先乘除，后加减：按照运算顺序，先进行乘法和除法，再进行加法和减法。
2. 有括号先算括号内：括号内的内容要优先计算。
3. 通分与约分：在进行加减运算时，需要找到公分母并进行通分；运算完成后尽量将结果化简为最简形式。
三、练习题精选
题目1：
$$
\frac{2}{3} + \frac{5}{6} \times \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right)
$$
解题步骤：
1. 先计算括号内的部分：
$$
\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}
$$
2. 进行乘法运算：
$$
\frac{5}{6} \times \frac{1}{4} = \frac{5}{24}
$$
3. 最后进行加法：
$$
\frac{2}{3} + \frac{5}{24} = \frac{16}{24} + \frac{5}{24} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}
$$
答案：$\frac{7}{8}$
题目2：
$$
\left( \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \right) \div \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{6} \right)
$$
解题步骤：
1. 计算括号内的减法：
$$
\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}
$$
2. 计算括号内的加法：
$$
\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}
$$
3. 进行除法运算：
$$
\frac{1}{4} \div \frac{5}{6} = \frac{1}{4} \times \frac{6}{5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}
$$
答案：$\frac{3}{10}$
题目3：
$$
\frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x(x+1)}
$$
解题步骤：
1. 找到公共分母：$x(x+1)$
2. 通分并合并：
$$
\frac{x+1}{x(x+1)} + \frac{2x}{x(x+1)} - \frac{3}{x(x+1)} = \frac{(x+1) + 2x - 3}{x(x+1)}
$$
3. 合并分子：
$$
x + 1 + 2x - 3 = 3x - 2
$$
4. 结果为：
$$
\frac{3x - 2}{x(x+1)}
$$
答案：$\frac{3x - 2}{x(x+1)}$
四、总结
分式混合运算虽然看似复杂，但只要掌握好运算顺序、通分技巧和约分方法，就能轻松应对各种题目。通过反复练习和总结，可以有效提升对分式运算的理解和应用能力。
希望以上练习题能帮助你在学习过程中不断进步！
