【正态分布的期望和方差公式推导】正态分布是概率论与统计学中最重要的一种连续型概率分布，广泛应用于自然科学、社会科学以及工程领域。其数学形式简洁，具有良好的对称性和可计算性，因此在实际应用中非常常见。

正态分布的概率密度函数为：

$$

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

$$

其中，$\mu$ 是均值（期望），$\sigma^2$ 是方差，$\sigma > 0$ 是标准差。

一、期望（均值）的推导

期望 $E(X)$ 的定义为：

$$

E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx

$$

将正态分布的概率密度函数代入：

$$

E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx

$$

令 $t = x - \mu$，则 $x = t + \mu$，当 $x \to \pm\infty$ 时，$t \to \pm\infty$，且 $dx = dt$。代入后得：

$$

E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (t + \mu) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}} dt

$$

拆分为两部分：

$$

E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} t \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}} dt + \mu \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}} dt

$$

第一项中，被积函数是奇函数，在对称区间上积分结果为 0；第二项是概率密度函数的积分，等于 1。因此：

$$

E(X) = 0 + \mu \cdot 1 = \mu

$$

二、方差的推导

方差 $Var(X)$ 定义为：

$$

Var(X) = E[(X - \mu)^2

$$

同样代入正态分布的概率密度函数：

$$

Var(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx

$$

令 $t = x - \mu$，则 $x - \mu = t$，$dx = dt$，代入后得到：

$$

Var(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} t^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}} dt

$$

这是一个标准的高斯积分问题，结果为：

$$

Var(X) = \sigma^2

$$

三、总结

四、结论

正态分布的期望和方差是其两个核心参数，分别表示数据的集中趋势和离散程度。通过数学推导可以明确得出：

- 正态分布的期望等于其均值 $\mu$，

- 方差等于其标准差的平方 $\sigma^2$。

这两个参数不仅有助于理解数据的分布特征，也是进行统计分析和建模的基础。

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