【简单的复合函数求导专题含答案x】在高中数学中，复合函数的求导是微积分学习的重要内容之一。它不仅考查学生对导数基本概念的理解，还要求学生能够灵活运用链式法则（即复合函数求导法则）。本文将围绕“简单的复合函数求导”这一主题，通过典型例题与详细解析，帮助同学们掌握相关知识点，并附有答案供参考。
一、什么是复合函数？
复合函数是指由两个或多个函数组合而成的函数。设函数 $ y = f(u) $ 和 $ u = g(x) $，则 $ y = f(g(x)) $ 就是一个复合函数，记作 $ y = f \circ g(x) $。
二、复合函数的求导法则
对于复合函数 $ y = f(g(x)) $，其导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
这个法则也被称为链式法则，它是求解复杂函数导数的基础工具。
三、典型例题与解析
例题1：
求函数 $ y = (2x + 1)^3 $ 的导数。
解析：
这是一个典型的复合函数，外层函数是 $ f(u) = u^3 $，内层函数是 $ u = 2x + 1 $。
根据链式法则：
$$
\frac{dy}{dx} = 3(2x + 1)^2 \cdot 2 = 6(2x + 1)^2
$$
答案： $ 6(2x + 1)^2 $
例题2：
已知函数 $ y = \sqrt{x^2 + 4} $，求导数。
解析：
外层函数为 $ f(u) = \sqrt{u} $，内层函数为 $ u = x^2 + 4 $。
导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}
$$
答案： $ \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} $
例题3：
求函数 $ y = \sin(3x - 5) $ 的导数。
解析：
外层函数是 $ f(u) = \sin u $，内层函数是 $ u = 3x - 5 $。
因此，
$$
\frac{dy}{dx} = \cos(3x - 5) \cdot 3 = 3\cos(3x - 5)
$$
答案： $ 3\cos(3x - 5) $
例题4：
已知函数 $ y = e^{x^2} $，求导数。
解析：
外层函数是 $ f(u) = e^u $，内层函数是 $ u = x^2 $。
导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}
$$
答案： $ 2x e^{x^2} $
四、总结
复合函数的求导虽然看似复杂，但只要掌握了链式法则，并能正确识别内外函数，就能轻松应对。在实际应用中，常常会遇到包含三角函数、指数函数、根号函数等的复合形式，需要结合基本导数公式进行计算。
五、练习题（附答案）
1. 求 $ y = (x^2 + 3)^4 $ 的导数。
答案： $ 8x(x^2 + 3)^3 $
2. 求 $ y = \ln(5x + 2) $ 的导数。
答案： $ \frac{5}{5x + 2} $
3. 求 $ y = \cos(2x + 1) $ 的导数。
答案： $ -2\sin(2x + 1) $
4. 求 $ y = \tan(3x) $ 的导数。
答案： $ 3\sec^2(3x) $
通过不断练习和理解链式法则的应用，相信同学们能够更加熟练地处理复合函数的求导问题。希望本专题对大家的学习有所帮助！
