【2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编(一)(解析版)】在2021年新高考数学考试中，选填题作为考查学生基础知识与综合运用能力的重要部分，其难度和灵活性逐年提升。为了帮助广大考生更好地掌握高频考点、突破思维瓶颈，本文整理了来自全国多所重点中学及地市级名校的精选选填压轴题，并附有详细解析，旨在为备考提供参考与借鉴。
一、题目特点分析
本次汇编中的题目均来自各地教学质量较高的学校，涵盖函数、数列、立体几何、概率统计、导数与不等式等多个模块，具有以下特点：
- 综合性强：多数题目涉及多个知识点的交叉应用；
- 思维层次高：注重逻辑推理、分类讨论与数形结合思想；
- 创新性强：部分题目以新情境或新定义形式出现，考查学生的应变能力；
- 贴近高考趋势：题型设置与高考命题风格高度一致，具备较强的实战价值。
二、典型例题解析
例题1（函数与导数）
设函数 $ f(x) = x^3 - ax^2 + bx + c $ 在区间 $ [1, 2] $ 上单调递增，且 $ f(1) = 0 $，$ f(2) = 4 $，求实数 $ a $ 的取值范围。
解析：
由于 $ f(x) $ 在 $ [1, 2] $ 上单调递增，因此导数 $ f'(x) \geq 0 $ 在该区间内恒成立。
计算导数：
$$
f'(x) = 3x^2 - 2ax + b
$$
由条件 $ f(1) = 0 $ 得：
$$
1 - a + b + c = 0 \quad \text{（1）}
$$
由 $ f(2) = 4 $ 得：
$$
8 - 4a + 2b + c = 4 \quad \text{（2）}
$$
联立（1）和（2）解得：
$$
\begin{cases}
c = a - b - 1 \\
8 - 4a + 2b + (a - b - 1) = 4 \\
\Rightarrow 7 - 3a + b = 4 \Rightarrow b = 3a - 3
\end{cases}
$$
代入导数表达式：
$$
f'(x) = 3x^2 - 2a x + (3a - 3)
$$
要求 $ f'(x) \geq 0 $ 在 $ [1, 2] $ 恒成立，考虑二次函数的图像与区间的关系。通过判别式与端点值分析可得：
$$
a \in (-\infty, 1]
$$
例题2（立体几何）
已知三棱锥 $ P-ABC $ 中，底面 $ ABC $ 是边长为 2 的正三角形，侧棱 $ PA = PB = PC = 2 $，求该三棱锥的体积。
解析：
由于 $ PA = PB = PC $，说明点 $ P $ 在底面 $ ABC $ 的垂直平分线上，即点 $ P $ 在底面的外心正上方。
正三角形的外心到顶点的距离为：
$$
R = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}
$$
设点 $ P $ 到底面的高度为 $ h $，则由勾股定理得：
$$
h^2 + R^2 = 2^2 \Rightarrow h^2 + \frac{4}{3} = 4 \Rightarrow h^2 = \frac{8}{3} \Rightarrow h = \frac{2\sqrt{6}}{3}
$$
底面积：
$$
S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \sqrt{3}
$$
体积：
$$
V = \frac{1}{3} \times \sqrt{3} \times \frac{2\sqrt{6}}{3} = \frac{2\sqrt{18}}{9} = \frac{2 \times 3\sqrt{2}}{9} = \frac{2\sqrt{2}}{3}
$$
三、备考建议
1. 重视基础，强化运算能力：选填题虽小，但往往蕴含复杂的运算过程，需反复训练。
2. 注重思维拓展：多做综合性强、新颖度高的题目，提升解题灵活性。
3. 总结规律，归纳方法：对常考题型进行归类整理，形成自己的解题思路体系。
4. 限时训练，提高速度：模拟真实考试环境，培养时间分配意识。
四、结语
本汇编内容紧扣2021年新高考数学命题方向，精选题目并附详细解析，既适合教师用于教学参考，也适用于学生自主复习巩固。希望同学们在备考过程中能够灵活运用这些资源，不断提升数学素养与应试能力，为高考打下坚实基础。
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