【不定积分练习题及答案】在高等数学的学习过程中，不定积分是一个非常重要的内容，它不仅是微分学的逆运算，也是解决许多实际问题的基础工具。为了帮助同学们更好地掌握这一知识点，下面提供一些典型的不定积分练习题，并附有详细的解答过程。
一、基础练习题
1. 求 ∫(3x² + 2x + 1) dx
解：
根据积分的基本公式，逐项积分：
$$
\int (3x^2 + 2x + 1)\,dx = \int 3x^2\,dx + \int 2x\,dx + \int 1\,dx
$$
$$
= x^3 + x^2 + x + C
$$
答案： $ x^3 + x^2 + x + C $
2. 求 ∫(5x^4 - 3x^2 + 7) dx
解：
$$
\int (5x^4 - 3x^2 + 7)\,dx = \int 5x^4\,dx - \int 3x^2\,dx + \int 7\,dx
$$
$$
= x^5 - x^3 + 7x + C
$$
答案： $ x^5 - x^3 + 7x + C $
3. 求 ∫(sinx + cosx) dx
解：
$$
\int (\sin x + \cos x)\,dx = \int \sin x\,dx + \int \cos x\,dx = -\cos x + \sin x + C
$$
答案： $ -\cos x + \sin x + C $
二、进阶练习题
4. 求 ∫(x^2 + 1)^3 dx
解：
先展开括号：
$$
(x^2 + 1)^3 = x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1
$$
然后逐项积分：
$$
\int (x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1)\,dx = \frac{x^7}{7} + \frac{3x^5}{5} + x^3 + x + C
$$
答案： $ \frac{x^7}{7} + \frac{3x^5}{5} + x^3 + x + C $
5. 求 ∫e^{2x} dx
解：
$$
\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C
$$
答案： $ \frac{1}{2}e^{2x} + C $
6. 求 ∫(2x + 1)/(x^2 + x + 1) dx
解：
观察分子为分母的导数：
$$
\frac{d}{dx}(x^2 + x + 1) = 2x + 1
$$
因此，原式可简化为：
$$
\int \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1} dx = \ln|x^2 + x + 1| + C
$$
答案： $ \ln|x^2 + x + 1| + C $
三、综合练习题
7. 求 ∫(x + 1)/√(x^2 + 2x + 5) dx
解：
令 $ u = x^2 + 2x + 5 $，则 $ du = (2x + 2) dx = 2(x + 1) dx $，即：
$$
\frac{du}{2} = (x + 1) dx
$$
代入原式：
$$
\int \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 5}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^{-1/2} du
$$
$$
= \frac{1}{2} \cdot 2u^{1/2} + C = \sqrt{u} + C = \sqrt{x^2 + 2x + 5} + C
$$
答案： $ \sqrt{x^2 + 2x + 5} + C $
8. 求 ∫x·sinx dx
解：
使用分部积分法：
设 $ u = x $，$ dv = \sin x dx $，则 $ du = dx $，$ v = -\cos x $
$$
\int x \sin x\,dx = -x \cos x + \int \cos x\,dx = -x \cos x + \sin x + C
$$
答案： $ -x \cos x + \sin x + C $
四、总结
通过以上练习题可以看出，不定积分的求解需要熟练掌握基本积分公式、换元法、分部积分法等常用技巧。建议在学习过程中多做题、多总结，逐步提高自己的计算能力和理解深度。
希望这份练习题能对你的学习有所帮助！
