在学习“信号与系统”这门课程时，习题练习是巩固知识、提升理解能力的重要环节。为了帮助学生更好地掌握课程内容，以下是一些典型习题的解答与分析，旨在提供清晰的思路和详细的推导过程。
一、连续时间信号的表示与运算
题目示例：
已知信号 $ x(t) = e^{-t}u(t) $，求其傅里叶变换 $ X(j\omega) $。
解题思路：
傅里叶变换的定义为：
$$
X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt
$$
由于 $ x(t) = e^{-t}u(t) $，其中 $ u(t) $ 是单位阶跃函数，因此积分区间变为从 0 到 ∞：
$$
X(j\omega) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} e^{-j\omega t} dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(1 + j\omega)t} dt
$$
计算该积分得：
$$
X(j\omega) = \left[ \frac{e^{-(1 + j\omega)t}}{-(1 + j\omega)} \right]_0^{\infty} = \frac{1}{1 + j\omega}
$$
二、系统的因果性与稳定性判断
题目示例：
给定一个线性时不变系统，其冲激响应为 $ h(t) = e^{-2t}u(t) $，判断该系统是否为因果系统，并分析其稳定性。
解题思路：
- 因果性：若 $ h(t) = 0 $ 对所有 $ t < 0 $ 成立，则系统为因果系统。显然，$ h(t) = e^{-2t}u(t) $ 在 $ t < 0 $ 时为零，因此系统是因果的。
- 稳定性：系统稳定当且仅当其冲激响应绝对可积，即：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| dt < \infty
$$
代入得：
$$
\int_{0}^{\infty} e^{-2t} dt = \left[ -\frac{1}{2} e^{-2t} \right]_0^{\infty} = \frac{1}{2} < \infty
$$
因此，系统是稳定的。
三、离散时间系统的卷积运算
题目示例：
设两个序列分别为 $ x[n] = \delta[n] + \delta[n-1] $ 和 $ h[n] = a^n u[n] $，求它们的卷积结果 $ y[n] = x[n] h[n] $。
解题思路：
根据卷积的定义：
$$
y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n - k]
$$
由于 $ x[k] $ 只在 $ k=0 $ 和 $ k=1 $ 处有非零值，因此：
$$
y[n] = x[0]h[n] + x[1]h[n - 1] = h[n] + h[n - 1]
$$
代入 $ h[n] = a^n u[n] $ 得：
$$
y[n] = a^n u[n] + a^{n-1} u[n - 1]
$$
四、拉普拉斯变换的应用
题目示例：
已知某系统的微分方程为：
$$
\frac{d^2y(t)}{dt^2} + 3\frac{dy(t)}{dt} + 2y(t) = x(t)
$$
求其系统函数 $ H(s) $，并分析极点位置对系统稳定性的影响。
解题思路：
对微分方程两边取拉普拉斯变换（假设初始条件为零）：
$$
s^2 Y(s) + 3s Y(s) + 2Y(s) = X(s)
$$
整理得：
$$
H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s^2 + 3s + 2} = \frac{1}{(s+1)(s+2)}
$$
极点为 $ s = -1 $ 和 $ s = -2 $，均位于复平面左半部分，因此系统是稳定的。
总结
通过上述习题的解答与分析，可以看出“信号与系统”课程中涉及的内容广泛，包括时域分析、频域分析、系统函数、卷积等核心概念。掌握这些基础理论，不仅有助于应对考试中的习题，也为后续学习如通信原理、自动控制、数字信号处理等课程打下坚实基础。
建议在做题过程中注重理解每一步推导的意义，结合图形或实际例子加深印象，这样才能真正掌握这门课程的核心思想。
