——七年级数学下册知识梳理与举一反三

在数学学习中，不等式是重要的基础内容之一，而一元一次不等式及其组则是初中阶段数学的核心知识点之一。本专题将围绕一元一次不等式的定义、性质以及其解法展开详细讲解，并通过实例帮助同学们掌握这一知识点的灵活应用。

一、一元一次不等式的概念

一元一次不等式是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式。例如：

$$ 3x - 6 > 0 $$

这类不等式可以通过移项、合并同类项和系数化简等方式求解。

二、解一元一次不等式的步骤

解一元一次不等式的基本步骤如下：

1. 去掉括号（如果存在）。

2. 移项：将含未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边。

3. 合并同类项。

4. 系数化为1，得到最终解。

注意：在不等式两边同时乘或除以负数时，不等号的方向需要改变。

三、典型例题解析

例题1：解不等式 $ 2x + 5 \leq 11 $

解：

$$

\begin{aligned}

&2x + 5 \leq 11 \\

&2x \leq 6 &&\text{（移项）} \\

&x \leq 3 &&\text{（系数化为1）}

\end{aligned}

$$

因此，解集为 $ x \leq 3 $。

例题2：解不等式 $ -3(x - 2) \geq 9 $

解：

$$

\begin{aligned}

&-3(x - 2) \geq 9 \\

&-3x + 6 \geq 9 &&\text{（去括号）} \\

&-3x \geq 3 &&\text{（移项）} \\

&x \leq -1 &&\text{（系数化为1，注意变号）}

\end{aligned}

$$

因此，解集为 $ x \leq -1 $。

四、一元一次不等式组的解法

一元一次不等式组是由两个或多个一元一次不等式组成的集合，其解集是所有满足每个不等式的解的交集。

解法步骤：

1. 分别解每个不等式。

2. 找出所有解的公共部分，即为不等式组的解集。

例题3：解不等式组 $ \begin{cases}

x - 1 < 3 \\

2x + 1 \geq 5

\end{cases} $

解：

解第一个不等式 $ x - 1 < 3 $：

$$

x < 4

$$

解第二个不等式 $ 2x + 1 \geq 5 $：

$$

2x \geq 4 \implies x \geq 2

$$

综合两个不等式的解集，得 $ 2 \leq x < 4 $。

因此，解集为 $ [2, 4) $。

五、举一反三练习

1. 解不等式 $ 4x - 8 \leq 0 $。

2. 解不等式组 $ \begin{cases}

x + 3 > 7 \\

-x + 2 \leq 5

\end{cases} $。

通过以上内容的学习，相信同学们对一元一次不等式及其组的解法有了更清晰的认识。希望同学们在日常练习中多加巩固，做到举一反三，灵活运用！