在数据结构的学习过程中，平衡二叉树（AVL树）是一个非常重要的概念。它是一种特殊的二叉搜索树，具有自平衡的特性。为了更好地理解AVL树的工作原理，我们通过一个具体的例子来分析其插入操作。

假设我们有一个空的AVL树，并依次插入以下元素：4, 2, 6, 1, 3, 5, 7。

初始状态

开始时，AVL树为空。

第一步：插入4

插入第一个元素4，树中只有一个节点：

```

4

```

第二步：插入2

插入第二个元素2，作为4的左子节点：

```

4

/

2

```

第三步：插入6

插入第三个元素6，作为4的右子节点：

```

4

/ \

2 6

```

第四步：插入1

插入第四个元素1，作为2的左子节点：

```

4

/ \

2 6

/

1

```

第五步：插入3

插入第五个元素3，作为2的右子节点。此时，从节点2到节点4的路径高度差为2，触发了不平衡状态。需要进行旋转操作。

左旋操作

对节点2执行左旋操作，调整后树形如下：

```

4

/ \

2 6

/ \

1 3

```

第六步：插入5

插入第六个元素5，作为6的左子节点：

```

4

/ \

2 6

/ \ /

1 3 5

```

第七步：插入7

插入第七个元素7，作为6的右子节点。此时，从节点6到节点4的路径高度差再次为2，触发不平衡状态。需要进行旋转操作。

右旋操作

对节点6执行右旋操作，调整后树形如下：

```

4

/ \

2 7

/ \ / \

1 3 56

```

经过上述步骤，最终得到了一棵平衡的AVL树。在这个过程中，我们展示了如何通过插入操作动态维护AVL树的平衡性，并利用旋转操作解决不平衡问题。这种自平衡机制使得AVL树能够在各种应用场景中保持高效的查找性能。