第八章 多元函数的极限与连续性

1. 二元函数的定义

二元函数f(x,y)可以看作是一个从R²到R的映射。对于任意给定的(x₀,y₀)，若存在唯一的z₀使得f(x₀,y₀)=z₀，则称该点为函数的一个点。

2. 二元函数的极限

设函数f(x,y)在点P₀(x₀,y₀)附近有定义，如果当(x,y)趋于(x₀,y₀)时，f(x,y)趋于某一常数A，则称A为函数f(x,y)在点P₀处的极限。

3. 连续性

若lim[(x,y)->(x₀,y₀)]f(x,y)=f(x₀,y₀)，则称函数f(x,y)在点(x₀,y₀)处连续。

第九章 多元函数微分学

1. 偏导数

偏导数表示固定一个变量而另一个变量变化时函数的变化率。例如∂f/∂x表示y保持不变时f关于x的变化率。

2. 全微分

如果函数f(x,y)在某一点可微，则其全微分为df=∂f/∂xdx+∂f/∂ydy。

3. 方向导数与梯度

方向导数描述了函数沿某一特定方向上的增长率；梯度是一个向量，其方向指向函数值增长最快的方向，其大小等于这个最大增长率。

第十章 重积分

1. 二重积分的概念

二重积分用于计算平面区域上的质量分布或面积等物理量。

2. 计算方法

可以通过直角坐标系下的累次积分或者极坐标变换来求解二重积分。

3. 应用实例

求解某些几何图形的体积、重心位置等问题。

第十一章 曲线积分与曲面积分

1. 第一型曲线积分

主要用来计算沿曲线路径的质量、力矩等。

2. 第二型曲线积分

应用于计算沿曲线所做的功等。

3. 高斯公式与斯托克斯公式

这些公式建立了多重积分与曲线积分之间的联系，在解决复杂的物理问题中非常重要。

以上仅为部分内容概览，具体细节需要结合教材深入学习。希望这份笔记能够对你的学习有所帮助！