在数学学习中，函数是极为重要的一部分，而函数的值域和最值问题则是函数研究中的核心内容之一。本文将对函数的值域与最值的相关知识点进行系统梳理，并通过经典例题及解析帮助大家深入理解，同时附上近年来高考真题及其答案，以便于大家更好地备考。

一、基础知识梳理

1. 函数的定义域与值域

- 定义域：函数自变量x的取值范围。

- 值域：函数因变量y的取值范围。值域是由定义域内的所有x值通过函数关系映射得到的所有y值组成的集合。

2. 函数的最值

- 最大值：在函数定义域内，函数值达到的最大值。

- 最小值：在函数定义域内，函数值达到的最小值。

3. 求函数值域的方法

- 观察法：对于简单的函数，可以直接观察得出其值域。

- 配方法：通过配方化简函数表达式，便于分析其值域。

- 换元法：通过引入新变量简化原函数，从而更容易确定值域。

- 单调性法：利用函数的单调性判断其值域。

- 图像法：通过绘制函数图像直观地观察值域。

二、经典例题解析

例题1

求函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) 的值域。

解析：

此函数为二次函数，开口向上。首先找到顶点坐标，顶点公式为 \( x = -\frac{b}{2a} \)，代入得 \( x = 2 \)。将 \( x = 2 \) 代入函数表达式得 \( f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = -1 \)。因此，函数的最小值为-1，值域为 \([-1, +\infty)\)。

例题2

求函数 \( g(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 5} \) 的值域。

解析：

此函数涉及平方根，需保证被开方数非负。先求 \( x^2 - 4x + 5 \geq 0 \)，通过配方得 \( (x-2)^2 + 1 \geq 0 \)，显然恒成立。再求 \( x^2 - 4x + 5 \) 的最小值，即 \( (x-2)^2 + 1 \) 的最小值为1。因此，函数的最小值为 \( \sqrt{1} = 1 \)，值域为 \([1, +\infty)\)。

三、近年高考真题及答案

高考真题1（2022年）

已知函数 \( h(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)，求其值域。

答案：值域为 \((-∞, 2]\)。

高考真题2（2021年）

求函数 \( k(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 5} \) 的值域。

答案：值域为 \([√5, +∞)\)。

通过以上梳理、例题解析以及高考真题的练习，相信读者对函数的值域与最值问题有了更深刻的理解。希望这些内容能对大家的学习有所帮助。