【求极限lim的典型例题】在数学分析中，求极限是微积分中的基础内容之一，也是考试和实际应用中常见的问题。掌握一些典型的极限例题及其解法，有助于提高解题能力和理解极限的本质。以下是一些具有代表性的极限例题及其解答方法总结。
一、常见类型与解题思路
| 类型 | 例题 | 解题思路 | 答案 |
| 1. 0/0 型 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ | 利用等价无穷小或洛必达法则 | 1 |
| 2. ∞/∞ 型 | $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 - 5x + 7}$ | 分子分母同除以最高次项 | 3 |
| 3. 无穷小乘有界函数 | $\lim_{x \to 0} x \cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ | 利用夹逼定理 | 0 |
| 4. 洛必达法则 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ | 对0/0型使用洛必达法则 | 1 |
| 5. 无穷大减无穷大 | $\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 3x} - x \right)$ | 有理化处理 | $\frac{3}{2}$ |
| 6. 数列极限（夹逼定理） | $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^n}$ | 利用指数增长快于多项式增长 | 0 |
| 7. 极限与连续性结合 | $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$ | 展开泰勒级数或利用等价无穷小 | $\frac{1}{2}$ |
| 8. 三角函数极限 | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ | 利用公式 $1 - \cos x = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$ | $\frac{1}{2}$ |
二、解题技巧总结
1. 等价无穷小替换：如当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$, $\ln(1+x) \sim x$, $e^x - 1 \sim x$ 等。
2. 洛必达法则：适用于0/0或∞/∞型不定式，对分子分母分别求导后再次计算极限。
3. 有理化处理：对于根号相减的形式，可将分子分母同时乘以共轭表达式。
4. 泰勒展开：对于复杂函数的极限，可通过泰勒展开简化计算。
5. 夹逼定理：适用于有界函数与无穷小相乘的情况。
三、注意事项
- 在使用洛必达法则前，必须确认是否为不定型；
- 避免滥用洛必达法则，有些题目可能通过其他方法更简洁；
- 注意极限的左右极限是否一致，避免出现“极限不存在”的情况；
- 对于数列极限，可以考虑将其转化为函数极限来处理。
通过以上典型例题的练习与归纳，能够帮助学生更好地理解和掌握极限的基本概念与解题方法，为进一步学习微积分打下坚实的基础。
