【数学期望的具体公式】数学期望是概率论和统计学中的一个重要概念，用于描述随机变量在长期试验中所表现出的平均值。它反映了随机事件的“平均结果”，在实际应用中广泛用于风险评估、投资决策、游戏策略等多个领域。
一、数学期望的基本定义
设 $ X $ 是一个离散型随机变量，其可能取值为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，对应的概率分别为 $ P(X = x_1), P(X = x_2), \ldots, P(X = x_n) $，则数学期望 $ E(X) $ 定义为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)
$$
对于连续型随机变量 $ X $，其概率密度函数为 $ f(x) $，则数学期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
二、数学期望的性质
1. 线性性：对任意常数 $ a $ 和 $ b $，有：
$$
E(aX + b) = aE(X) + b
$$
2. 期望的加法性：对任意两个随机变量 $ X $ 和 $ Y $，有：
$$
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
$$
3. 独立变量的乘积期望：若 $ X $ 和 $ Y $ 独立，则：
$$
E(XY) = E(X) \cdot E(Y)
$$
三、常见分布的数学期望公式
| 分布名称 | 概率质量函数 / 密度函数 | 数学期望 $ E(X) $ |
| 伯努利分布 | $ P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k} $ | $ p $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $, $ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $, $ x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
四、总结
数学期望是衡量随机变量平均水平的重要指标，无论是离散还是连续型变量，都可以通过相应的公式进行计算。了解不同分布的期望有助于我们在实际问题中做出更合理的判断与预测。
通过表格形式可以清晰地看到各种常见分布的数学期望公式，便于记忆与应用。在实际操作中，正确理解并运用数学期望，能够帮助我们更好地分析数据、预测趋势和优化决策。
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