【分数的导数怎么求】在微积分中，求一个分数的导数是常见的问题。分数形式通常指的是函数的分子和分母都是关于变量的表达式，例如 $ \frac{f(x)}{g(x)} $。这类函数的导数可以通过“商法则”来求解。本文将对分数的导数进行总结，并以表格形式展示相关公式与示例。
一、基本概念
- 分数函数：形如 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $ 的函数，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 是关于 $ x $ 的可导函数。
- 导数：表示函数的变化率，记作 $ y' $ 或 $ \frac{dy}{dx} $。
- 商法则：用于计算两个可导函数相除后的导数。
二、商法则公式
对于函数 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $，其导数为：
$$
y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
其中：
- $ u'(x) $ 是分子的导数，
- $ v'(x) $ 是分母的导数，
- $ [v(x)]^2 $ 是分母的平方。
三、步骤解析
1. 确定分子 $ u(x) $ 和分母 $ v(x) $；
2. 分别求出 $ u'(x) $ 和 $ v'(x) $；
3. 将上述结果代入商法则公式；
4. 化简最终结果。
四、示例演示
| 示例 | 函数 | 导数 | 解析 |
| 1 | $ \frac{x^2}{x+1} $ | $ \frac{(2x)(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} $ | 分子导数为 $ 2x $，分母导数为 $ 1 $，代入公式化简 |
| 2 | $ \frac{\sin x}{\cos x} $ | $ \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} $ | 利用三角恒等式简化 |
| 3 | $ \frac{5x + 3}{2x - 1} $ | $ \frac{5(2x - 1) - (5x + 3)(2)}{(2x - 1)^2} = \frac{10x - 5 - 10x - 6}{(2x - 1)^2} = \frac{-11}{(2x - 1)^2} $ | 直接代入公式并化简 |
五、注意事项
- 若分母为常数，则导数可直接使用幂法则或常数倍法则；
- 当分子或分母为多项式时，需先求导再代入；
- 在实际应用中，注意分母不能为零；
- 可通过因式分解或约分简化最终结果。
六、总结
| 项目 | 内容 |
| 求导方法 | 商法则（适用于分数形式函数） |
| 公式 | $ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ |
| 应用场景 | 分数函数、有理函数、三角函数等 |
| 注意事项 | 分母不能为零，合理化简结果 |
通过掌握商法则和熟练运用导数的基本规则，可以高效地求解各类分数函数的导数。建议多做练习题以加深理解，并结合图形分析函数的变化趋势。
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