【导数公式及运算法则】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的导数公式和运算法则是学习微积分的基础。本文将对常用的导数公式及其基本运算法则进行总结，并通过表格形式清晰展示，帮助读者更好地理解和应用。
一、基本导数公式
以下是一些常见函数的导数公式，适用于初等函数的求导：
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $（x > 0） | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、导数的运算法则
在实际运算中，常常需要对多个函数进行加减乘除或复合运算，此时需要用到导数的运算法则：
| 运算类型 | 公式 | 说明 |
| 常数倍法则 | $ (cf(x))' = c f'(x) $ | 常数乘以函数的导数等于常数乘以该函数的导数 |
| 加法法则 | $ (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) $ | 两个函数和的导数等于各自导数的和 |
| 减法法则 | $ (f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x) $ | 两个函数差的导数等于各自导数的差 |
| 乘法法则（莱布尼茨法则） | $ (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ | 两个函数积的导数等于第一个函数导数乘第二个函数加上第一个函数乘第二个函数导数 |
| 商法则 | $ \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ | 两个函数商的导数等于分子导数乘分母减去分子乘分母导数，再除以分母平方 |
| 链式法则 | $ \frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 复合函数的导数等于外层函数在内层函数处的导数乘以内层函数的导数 |
三、总结
导数是数学分析中的核心概念，广泛应用于物理、工程、经济等领域。掌握常见的导数公式和运算法则，不仅有助于提高解题效率，还能加深对函数性质的理解。通过表格的形式，可以更直观地对比不同函数的导数形式和运算规则，便于记忆与应用。
建议在学习过程中结合实例练习，逐步提升对导数计算的熟练度和灵活性。
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