【三角恒等式的所有变形公式】在数学中，三角恒等式是研究三角函数之间关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握这些恒等式的各种变形形式，有助于更灵活地解决相关问题。以下是对常见三角恒等式及其变形公式的总结。
一、基本三角恒等式
| 原始公式 | 变形公式 |
| $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ |
| $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ | $\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1$ $\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta$ |
| $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ | $\cot^2\theta = \csc^2\theta - 1$ $\csc^2\theta = 1 + \cot^2\theta$ |
二、和差角公式及其变形
| 原始公式 | 变形公式 |
| $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ | $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ $\cos A \sin B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) - \sin(A-B)]$ |
| $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ | $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ |
| $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ | $\tan A + \tan B = \tan(A+B)(1 - \tan A \tan B)$ （适用于某些特定情况） |
三、倍角公式与半角公式
| 原始公式 | 变形公式 |
| $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$ | $\sin\theta \cos\theta = \frac{1}{2}\sin 2\theta$ |
| $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$ | $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ $\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ |
| $\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ | $\tan\theta = \frac{\tan 2\theta}{1 + \sqrt{1 + \tan^2 2\theta}}$（仅限部分情况） |
四、积化和差与和差化积公式
| 原始公式 | 变形公式 |
| $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ | $\sin(A+B) + \sin(A-B) = 2\sin A \cos B$ |
| $\cos A \sin B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) - \sin(A-B)]$ | $\sin(A+B) - \sin(A-B) = 2\cos A \sin B$ |
| $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ | $\cos(A+B) + \cos(A-B) = 2\cos A \cos B$ |
| $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ | $\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2\sin A \sin B$ |
五、其他常用变形
| 原始公式 | 变形公式 |
| $\sin^3\theta = \frac{3\sin\theta - \sin 3\theta}{4}$ | $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ |
| $\cos^3\theta = \frac{3\cos\theta + \cos 3\theta}{4}$ | $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ |
| $\tan 3\theta = \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}$ | $\tan\theta = \frac{\tan 3\theta}{3 + \sqrt{9 + \tan^2 3\theta}}$（仅限部分情况） |
六、小结
三角恒等式的变形不仅有助于简化计算，还能帮助我们理解三角函数之间的内在联系。掌握这些公式并能灵活运用，是学好三角函数的关键。建议在实际应用中结合图形理解，同时注意公式的适用范围和限制条件。
通过上述表格，可以快速查阅不同类型的三角恒等式及其变形形式，便于复习和应用。
以上就是【三角恒等式的所有变形公式】相关内容，希望对您有所帮助。
