【三角函数公式tanx】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，而正切函数（tanx）是其中一种基本的三角函数。tanx 的定义是直角三角形中对边与邻边的比值，也可以通过单位圆来理解。它在解析几何、微积分、物理等多个领域都有广泛应用。
为了更清晰地掌握 tanx 的相关公式和性质，以下是对 tanx 的总结，并辅以表格形式进行归纳整理。
一、tanx 的基本定义
在直角三角形中，对于一个锐角 x：
$$
\tan x = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}
$$
在单位圆中，tanx 表示的是终边与 y 轴交点的纵坐标与横坐标之比：
$$
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
$$
需要注意的是，当 cosx = 0 时，tanx 是无定义的，即 x ≠ π/2 + kπ（k 为整数）。
二、tanx 的常用公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 基本定义 | $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ |
| 倒数关系 | $\cot x = \frac{1}{\tan x}$ |
| 和角公式 | $\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$ |
| 差角公式 | $\tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$ |
| 倍角公式 | $\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$ |
| 半角公式 | $\tan \frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$ 或 $\tan \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$ |
| 正切恒等式 | $\tan^2 x + 1 = \sec^2 x$ |
三、tanx 的图像与性质
- 定义域：x ≠ π/2 + kπ，k ∈ Z
- 值域：(-∞, +∞)
- 周期性：周期为 π
- 奇偶性：奇函数，即 $\tan(-x) = -\tan x$
- 单调性：在每个区间内单调递增
- 图像特点：在 x = π/2 + kπ 处有垂直渐近线
四、常见角度的 tanx 值表
| 角度（弧度） | 角度（度数） | tanx 值 |
| 0 | 0° | 0 |
| π/6 | 30° | 1/√3 |
| π/4 | 45° | 1 |
| π/3 | 60° | √3 |
| π/2 | 90° | 无定义 |
| 2π/3 | 120° | -√3 |
| 3π/4 | 135° | -1 |
| 5π/6 | 150° | -1/√3 |
| π | 180° | 0 |
五、应用举例
1. 解三角形：已知一个角的正切值和一条边，可求其他边。
2. 物理运动分析：如斜面上物体的受力分解。
3. 工程计算：用于测量高度、距离等实际问题。
4. 信号处理：在傅里叶变换中涉及三角函数的应用。
总结
tanx 是三角函数中的重要组成部分，具有丰富的代数性质和几何意义。掌握其定义、公式及图像特征，有助于更好地理解和应用这一函数。无论是基础数学还是高等科学领域，tanx 都是不可或缺的工具之一。
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