【期望和方差的计算公式】在概率论与数理统计中，期望和方差是描述随机变量分布特性的两个重要指标。期望反映了随机变量的“平均值”或“中心位置”，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。以下是对期望和方差的计算公式的总结，并以表格形式展示。
一、期望（Expectation）
期望是随机变量在大量重复试验中取值的平均结果，也称为数学期望或均值。
1. 离散型随机变量的期望
设离散型随机变量 $ X $ 的可能取值为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，对应的概率分别为 $ P(X = x_i) = p_i $，则其期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
2. 连续型随机变量的期望
设连续型随机变量 $ X $ 的概率密度函数为 $ f(x) $，则其期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
$$
二、方差（Variance）
方差是衡量随机变量与其期望之间差异大小的指标，方差越小，说明数据越集中；方差越大，说明数据越分散。
1. 方差的定义
方差定义为随机变量与其期望的平方差的期望，即：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2
$$
也可以简化为：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
2. 离散型随机变量的方差
$$
\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i
$$
3. 连续型随机变量的方差
$$
\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) \, dx
$$
三、常见分布的期望与方差
| 分布名称 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 伯努利分布 | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 $ B(n,p) $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 $ U(a,b) $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 正态分布 $ N(\mu,\sigma^2) $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
四、总结
期望和方差是分析随机变量行为的重要工具。通过计算期望，可以了解变量的平均水平；通过计算方差，可以判断变量的波动性。无论是离散型还是连续型随机变量，都可以根据其概率分布来求解期望和方差。掌握这些基本概念和公式，有助于进一步理解统计学中的各种模型和方法。
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