【arctanx的导数是什么等于什么】在微积分中，反三角函数的导数是重要的知识点之一。其中，arctanx（反正切函数） 的导数是一个经典问题，常出现在数学、物理和工程等领域的计算中。本文将总结 arctanx 的导数，并以表格形式清晰展示其结果。
一、arctanx 的导数公式
设 $ y = \arctan x $，即 $ x = \tan y $。对两边关于 $ x $ 求导，可得：
$$
\frac{dx}{dy} = \sec^2 y
$$
因此，
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y}
$$
由于 $ \sec^2 y = 1 + \tan^2 y $，而 $ \tan y = x $，所以：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}
$$
因此，arctanx 的导数为：
$$
\frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}
$$
二、总结与表格
| 函数表达式 | 导数表达式 | 说明 |
| $ y = \arctan x $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2} $ | 反正切函数的导数公式，适用于所有实数 x |
三、补充说明
- 该导数公式适用于定义域内的所有实数 $ x \in \mathbb{R} $。
- 在实际应用中，例如求解微分方程、计算面积或进行数值分析时，这个导数非常常见。
- 也可以通过隐函数求导法或利用已知的三角恒等式来推导此结果。
如需进一步了解其他反三角函数的导数（如 arcsinx、arccosx 等），也可继续探讨。
以上就是【arctanx的导数是什么等于什么】相关内容，希望对您有所帮助。
