【因式分解练习题及答案】在数学学习中，因式分解是一个非常重要的知识点，尤其在初中和高中阶段的代数学习中占据着重要地位。因式分解不仅有助于简化多项式表达式，还能帮助我们更好地理解多项式的结构，为后续的学习打下坚实的基础。
为了帮助大家更好地掌握这一知识点，下面整理了一些经典的因式分解练习题，并附上详细的解答过程，方便大家参考与练习。
一、基础题型
1. 分解下列多项式：
题目： $ x^2 + 5x + 6 $
解析：
我们需要找到两个数，它们的乘积是6（常数项），而它们的和是5（一次项系数）。显然，这两个数是2和3。因此：
$$
x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
$$
答案： $ (x + 2)(x + 3) $
2. 分解下列多项式：
题目： $ x^2 - 4x - 21 $
解析：
寻找两个数，乘积为-21，和为-4。符合条件的是-7和3：
$$
x^2 - 4x - 21 = (x - 7)(x + 3)
$$
答案： $ (x - 7)(x + 3) $
3. 分解下列多项式：
题目： $ x^2 - 9 $
解析：
这是一个平方差公式，可以写成：
$$
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
$$
答案： $ (x - 3)(x + 3) $
二、进阶题型
4. 分解下列多项式：
题目： $ 2x^2 + 7x + 3 $
解析：
这里首项系数不为1，我们可以使用“十字相乘法”或试根法。尝试将中间项拆分为两个部分：
$$
2x^2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)
$$
验证：
$ (2x + 1)(x + 3) = 2x^2 + 6x + x + 3 = 2x^2 + 7x + 3 $
答案： $ (2x + 1)(x + 3) $
5. 分解下列多项式：
题目： $ 6x^2 - 13x + 6 $
解析：
尝试用十字相乘法，找两个数乘积为 $6 \times 6 = 36$，和为-13。这两个数是-9和-4：
$$
6x^2 - 13x + 6 = (3x - 2)(2x - 3)
$$
答案： $ (3x - 2)(2x - 3) $
三、综合应用题
6. 分解下列多项式：
题目： $ x^3 - 4x^2 - 7x + 10 $
解析：
先尝试用有理根定理找出可能的根。试代入x=1：
$$
1^3 - 4(1)^2 - 7(1) + 10 = 1 - 4 - 7 + 10 = 0
$$
所以x=1是一个根，可以用多项式除法或配方法进行分解：
$$
x^3 - 4x^2 - 7x + 10 = (x - 1)(x^2 - 3x - 10)
$$
再对二次项进行分解：
$$
x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)
$$
最终答案： $ (x - 1)(x - 5)(x + 2) $
四、拓展训练题
7. 分解下列多项式：
题目： $ a^3 + b^3 $
解析：
这是一个立方和公式：
$$
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
$$
答案： $ (a + b)(a^2 - ab + b^2) $
8. 分解下列多项式：
题目： $ a^3 - b^3 $
解析：
这是一个立方差公式：
$$
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
$$
答案： $ (a - b)(a^2 + ab + b^2) $
总结
通过以上练习题可以看出，因式分解的关键在于观察多项式的结构，灵活运用各种分解方法，如提取公因式、分组分解、十字相乘、平方差公式、立方和与立方差公式等。建议同学们多做练习，逐步提高自己的运算能力和逻辑思维能力。
希望这份练习题能对你的学习有所帮助！
