【高中数学方程的根与函数的零点练习题及答案】在高中数学的学习过程中，方程的根与函数的零点是一个非常重要的知识点。它不仅贯穿于函数图像的理解中，还为后续学习导数、不等式以及实际问题建模打下了坚实的基础。本文将围绕“方程的根与函数的零点”这一主题，提供一些典型练习题，并附上详细解答，帮助同学们更好地掌握这一部分内容。
一、基本概念回顾
1. 方程的根
对于一个代数方程 $ f(x) = 0 $，使得该方程成立的 $ x $ 值称为这个方程的根。
2. 函数的零点
如果函数 $ f(x) $ 在某一点 $ x = a $ 处满足 $ f(a) = 0 $，那么称 $ a $ 是函数 $ f(x) $ 的一个零点。
从几何上看，函数的零点就是函数图像与横轴（x轴）的交点。
二、典型练习题及解析
题目1：
求函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $ 的零点。
解：
令 $ f(x) = 0 $，即
$$
x^2 - 4x + 3 = 0
$$
解这个一元二次方程：
$$
x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}
$$
所以，
$$
x_1 = 3,\quad x_2 = 1
$$
因此，函数的零点是 $ x = 1 $ 和 $ x = 3 $。
题目2：
判断函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 2 $ 是否有零点，并求出所有零点。
解：
尝试用因式分解法来求解。
先试根，比如 $ x = 1 $：
$$
f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0
$$
说明 $ x = 1 $ 是一个零点，因此可以将多项式分解为：
$$
f(x) = (x - 1)(x^2 + ax + b)
$$
利用多项式除法或待定系数法可得：
$$
f(x) = (x - 1)(x^2 + x - 2)
$$
继续分解 $ x^2 + x - 2 $：
$$
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)
$$
因此，
$$
f(x) = (x - 1)^2(x + 2)
$$
所以，函数的零点为 $ x = 1 $（重根）和 $ x = -2 $。
题目3：
已知函数 $ f(x) = 2x^2 - 5x + 2 $，求其零点并画出大致图像。
解：
令 $ f(x) = 0 $：
$$
2x^2 - 5x + 2 = 0
$$
使用求根公式：
$$
x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}
$$
解得：
$$
x_1 = 2,\quad x_2 = \frac{1}{2}
$$
因此，函数的零点为 $ x = 2 $ 和 $ x = \frac{1}{2} $。
由于二次项系数为正，抛物线开口向上，图像与x轴交于 $ x = \frac{1}{2} $ 和 $ x = 2 $，顶点位于两者之间。
三、总结
通过以上练习题可以看出，理解“方程的根”与“函数的零点”的关系非常重要。它们本质上是同一个概念的不同表达方式，只是应用的场景不同。掌握这一知识点有助于提高对函数图像的分析能力，也为后续学习更复杂的数学内容奠定基础。
建议同学们多做相关练习，结合图像理解函数性质，逐步提升自己的数学思维能力。
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