在初中数学的学习过程中，一元二次方程是一个非常重要的知识点，而“根与系数的关系”则是其中的核心内容之一。本节课将围绕这一主题展开系统复习，帮助学生进一步理解并掌握相关知识，提升解题能力。
一、教学目标
1. 回顾一元二次方程的基本形式及其求根公式；
2. 掌握韦达定理（即根与系数的关系）的推导过程；
3. 能够灵活运用根与系数的关系解决实际问题；
4. 培养学生的逻辑思维能力和数学应用意识。
二、知识回顾
1. 一元二次方程的一般形式
形如：
$$ ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0) $$
其中，$ a $、$ b $、$ c $ 为常数，且 $ a \neq 0 $。
2. 求根公式
对于上述方程，其根为：
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
判别式 $ D = b^2 - 4ac $ 决定了根的性质：
- 当 $ D > 0 $，有两个不相等的实数根；
- 当 $ D = 0 $，有两个相等的实数根；
- 当 $ D < 0 $，无实数根（有共轭复数根）。
三、根与系数的关系（韦达定理）
设一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的两个根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，则有以下关系：
- 根的和：
$$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $$
- 根的积：
$$ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} $$
这个结论被称为韦达定理，是解决与根有关的问题的重要工具。
四、典型例题分析
例题1：
已知方程 $ 2x^2 - 5x + 3 = 0 $，求它的两根之和与两根之积。
解析：
根据韦达定理：
- 根的和：
$$ x_1 + x_2 = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2} $$
- 根的积：
$$ x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{2} $$
例题2：
若关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + px + q = 0 $ 的两根分别为 $ 3 $ 和 $ -2 $，求 $ p $ 和 $ q $ 的值。
解析：
由韦达定理：
- 根的和：
$$ 3 + (-2) = 1 = -p \Rightarrow p = -1 $$
- 根的积：
$$ 3 \times (-2) = -6 = q \Rightarrow q = -6 $$
五、应用拓展
1. 构造方程：已知两根，可直接写出方程：
若两根为 $ x_1 $、$ x_2 $，则方程为：
$$ x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0 $$
2. 判断根的符号：
利用根与系数的关系可以快速判断根的正负性，例如：
- 若 $ x_1 + x_2 > 0 $ 且 $ x_1x_2 > 0 $，则两根同为正；
- 若 $ x_1 + x_2 < 0 $ 且 $ x_1x_2 > 0 $，则两根同为负；
- 若 $ x_1x_2 < 0 $，则两根异号。
3. 结合判别式使用：
在某些题目中，需要同时考虑根的存在性与根的性质，此时需综合使用判别式和韦达定理。
六、课堂小结
- 一元二次方程的根与系数之间存在明确的数学关系；
- 韦达定理是解决与根相关的计算问题的重要工具；
- 掌握根与系数的关系，有助于提高解题效率和逻辑推理能力；
- 灵活运用该定理，能够解决许多实际问题。
七、课后练习
1. 已知方程 $ 3x^2 - 6x + 2 = 0 $，求两根之和与积。
2. 若方程 $ x^2 + mx + n = 0 $ 的两根为 $ 4 $ 和 $ -1 $，求 $ m $ 和 $ n $。
3. 已知方程 $ x^2 - 7x + 12 = 0 $，判断其根的正负情况，并验证。
通过本节课的复习，希望同学们能够更加熟练地掌握一元二次方程根与系数之间的关系，为今后的数学学习打下坚实的基础。
