一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. $ x + 2 = 5 $
B. $ x^2 - 3x + 2 = 0 $
C. $ 2x + y = 7 $
D. $ \frac{1}{x} = 3 $
2. 已知点 $ A(2, 3) $ 和点 $ B(-1, 4) $，则线段 $ AB $ 的长度是（ ）
A. $ \sqrt{10} $
B. $ \sqrt{13} $
C. $ \sqrt{15} $
D. $ \sqrt{17} $
3. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + bx + c = 0 $ 的两个根为 $ x_1 = 1 $、$ x_2 = -2 $，则 $ b + c $ 的值为（ ）
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
4. 在直角三角形中，若一个锐角为 $ 30^\circ $，斜边为 10，则这个角的对边长为（ ）
A. 5
B. $ 5\sqrt{3} $
C. $ 10\sqrt{3} $
D. 10
5. 抛物线 $ y = x^2 - 4x + 3 $ 的顶点坐标是（ ）
A. (2, -1)
B. (2, 1)
C. (-2, -1)
D. (-2, 1)
6. 若 $ \sin \theta = \frac{3}{5} $，且 $ \theta $ 是第一象限角，则 $ \cos \theta $ 的值为（ ）
A. $ \frac{4}{5} $
B. $ \frac{5}{4} $
C. $ \frac{3}{4} $
D. $ \frac{5}{3} $
7. 已知函数 $ y = 2x + 1 $，当 $ x = 3 $ 时，$ y $ 的值为（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 所有等腰三角形都相似
B. 所有矩形都相似
C. 所有正方形都相似
D. 所有菱形都相似
9. 若 $ a : b = 3 : 4 $，且 $ a + b = 21 $，则 $ a $ 的值为（ ）
A. 6
B. 7
C. 9
D. 12
10. 已知圆心角为 $ 60^\circ $，半径为 6 的扇形面积是（ ）
A. $ 6\pi $
B. $ 12\pi $
C. $ 18\pi $
D. $ 24\pi $
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 的解为 ________。
12. 在平面直角坐标系中，点 $ (3, -4) $ 关于原点对称的点的坐标是 ________。
13. 已知 $ \tan \theta = \frac{1}{2} $，则 $ \sin \theta = $ ________。
14. 抛物线 $ y = -x^2 + 2x + 3 $ 的开口方向是 ________。
15. 若 $ \triangle ABC \sim \triangle DEF $，且 $ AB = 4 $，$ DE = 6 $，则相似比为 ________。
16. 已知一个圆的周长是 $ 12\pi $，则它的半径是 ________。
三、解答题（共52分）
17. （8分）解方程：
$ x^2 - 6x + 8 = 0 $
18. （8分）已知 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90^\circ $，$ AC = 3 $，$ BC = 4 $，求 $ AB $ 的长度和 $ \sin A $ 的值。
19. （10分）某商品的进价为每件 50 元，售价为每件 80 元，每月可卖出 100 件。若售价每降低 1 元，销量增加 5 件。问：当售价定为多少时，月利润最大？最大利润是多少？
20. （10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 $ A(1, 2) $、$ B(3, 4) $、$ C(5, 2) $。
（1）求出线段 $ AB $ 的中点坐标；
（2）判断 $ \triangle ABC $ 是否为等腰三角形，并说明理由。
21. （16分）已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 经过点 $ (1, 0) $、$ (-1, 0) $、$ (0, -2) $。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）画出该抛物线的大致图像。
参考答案（供教师使用）
一、选择题
1. B2. B3. A4. A5. A
6. A7. C8. C9. C10. A
二、填空题
11. $ x=2 $ 或 $ x=3 $
12. $ (-3, 4) $
13. $ \frac{\sqrt{5}}{5} $
14. 向下
15. $ 2:3 $
16. 6
三、解答题（略）
注：本试卷为九年级数学上册期末考试内容，适用于教学评估与学生复习使用。
