在大学的课程学习中，《高等数学》作为一门基础性极强的学科，往往对学生的逻辑思维能力和数学素养提出了较高的要求。尤其是《高等数学》上册，涵盖了函数、极限、导数、微分、积分等核心内容，是后续专业课程的重要基石。为了帮助学生更好地掌握知识、查漏补缺，以下是一份模拟的《高等数学》上册期末考试题，并附有详细解答，供参考与练习。
一、选择题（每题3分，共15分）
1. 函数 $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} $ 在 $ x=1 $ 处的极限为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 不存在
2. 若 $ f(x) = \ln(x^2 + 1) $，则 $ f'(x) = $（ ）
A. $ \frac{2x}{x^2 + 1} $
B. $ \frac{x}{x^2 + 1} $
C. $ \frac{2}{x^2 + 1} $
D. $ \frac{1}{x^2 + 1} $
3. 曲线 $ y = x^3 - 3x $ 的极值点是（ ）
A. $ x = 1 $
B. $ x = -1 $
C. $ x = 0 $
D. $ x = \pm1 $
4. 定积分 $ \int_{0}^{1} (2x + 1) dx = $（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. 设 $ f(x) = e^{-x} $，则 $ \int_{0}^{\infty} f(x) dx = $（ ）
A. 0
B. 1
C. $ e $
D. 无法计算
二、填空题（每空3分，共15分）
1. 极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = $ ________。
2. 若 $ f(x) = x \cos x $，则 $ f''(0) = $ ________。
3. 曲线 $ y = x^2 $ 在点 $ (1,1) $ 处的切线方程为 ________。
4. 不定积分 $ \int x e^x dx = $ ________。
5. 设 $ f(x) = \sqrt{x} $，则 $ f'(x) = $ ________。
三、计算题（每题10分，共40分）
1. 求极限：
$$
\lim_{x \to 0} \left( \frac{1 - \cos x}{x^2} \right)
$$
2. 求函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的极值。
3. 计算定积分：
$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} dx
$$
4. 求曲线 $ y = x^2 $ 与直线 $ y = 2x $ 所围成的面积。
四、证明题（10分）
设函数 $ f(x) $ 在区间 $ [a,b] $ 上连续，在 $ (a,b) $ 内可导，且 $ f(a) = f(b) $，试用罗尔定理证明：存在 $ c \in (a,b) $，使得 $ f'(c) = 0 $。
五、综合应用题（10分）
已知某物体的运动方程为 $ s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t $，其中 $ t $ 是时间（单位：秒），$ s(t) $ 是位移（单位：米）。
（1）求该物体的瞬时速度函数；
（2）求物体在 $ t = 2 $ 秒时的加速度；
（3）求物体从 $ t = 0 $ 到 $ t = 3 $ 秒内的总路程。
答案部分
一、选择题
1. C
2. A
3. D
4. C
5. B
二、填空题
1. 2
2. 0
3. $ y = 2x - 1 $
4. $ x e^x - e^x + C $
5. $ \frac{1}{2\sqrt{x}} $
三、计算题
1. 原式 = $ \frac{1}{2} $
2. 极大值点 $ x = -1 $，极小值点 $ x = 1 $
3. 原式 = $ \frac{\pi}{4} $
4. 面积 = $ \frac{4}{3} $
四、证明题
略（根据罗尔定理直接推导即可）
五、综合应用题
1. 速度函数 $ v(t) = 3t^2 - 12t + 9 $
2. 加速度 $ a(2) = -6 $ m/s²
3. 总路程 = 10 米
以上试题结合了《高等数学》上册的核心知识点，涵盖基本概念、计算技巧与实际应用，适合用于期末复习或自我检测。希望同学们在学习过程中注重理解与积累，逐步提升自己的数学能力。
