在数学的学习过程中，三元一次方程组是一个重要的知识点。它不仅能够帮助我们解决实际生活中的许多问题，还能培养我们的逻辑思维能力和计算能力。为了更好地掌握这一知识，下面提供一组精心设计的练习题，供同学们巩固和提高。
练习题
一、基础题
1. 解方程组：
\[
\begin{cases}
x + y + z = 6 \\
2x - y + z = 3 \\
x + 3y - z = 7
\end{cases}
\]
2. 已知三元一次方程组：
\[
\begin{cases}
3x + 2y - z = 8 \\
x - y + 4z = 5 \\
2x + 3y + z = 10
\end{cases}
\]
求解 \(x, y, z\) 的值。
二、中等难度题
3. 若三元一次方程组：
\[
\begin{cases}
ax + by + cz = d \\
ex + fy + gz = h \\
ix + jy + kz = l
\end{cases}
\]
的解为 \(x = 1, y = 2, z = 3\)，求系数 \(a, b, c, e, f, g, i, j, k, d, h, l\) 的可能取值。
4. 设三元一次方程组：
\[
\begin{cases}
px + qy + rz = s \\
tx + uy + vz = w \\
mx + ny + pz = q
\end{cases}
\]
满足 \(p + t + m = 0\)，\(q + u + n = 0\)，\(r + v + p = 0\)，且 \(s + w + q = 0\)。试证明该方程组有无穷多组解。
三、挑战题
5. 给定三元一次方程组：
\[
\begin{cases}
(a+b)x + (b+c)y + (c+a)z = a+b+c \\
(b+c)x + (c+a)y + (a+b)z = b+c+a \\
(c+a)x + (a+b)y + (b+c)z = c+a+b
\end{cases}
\]
求解 \(x, y, z\) 的值，并讨论参数 \(a, b, c\) 对解的影响。
6. 设三元一次方程组：
\[
\begin{cases}
x + y + z = A \\
x^2 + y^2 + z^2 = B \\
xyz = C
\end{cases}
\]
其中 \(A, B, C\) 是已知常数。试探讨该方程组是否有解，并给出解的条件。
通过以上练习题的训练，相信同学们对三元一次方程组的理解会更加深入。在解题过程中，不仅要注重方法的选择，还要注意细节的处理，这样才能真正掌握这一知识点。希望每位同学都能在学习中找到乐趣，不断进步！
