在数学中，等比数列是一种非常重要的数列形式，其特点在于从第二项起，每一项与它的前一项的比值是一个常数，这个常数被称为公比，通常记作q。例如，数列1, 2, 4, 8, 16…就是一个典型的等比数列，其中公比q=2。

对于一个等比数列{a_n}，如果已知首项为a₁，公比为q，那么该数列的前n项和Sₙ可以表示为：

\[ S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \dots + a_1q^{n-1} \]

接下来我们将详细推导出这个前n项和的公式。

首先，将上述表达式写成一般形式：

\[ S_n = a_1(1 + q + q^2 + \dots + q^{n-1}) \]

为了简化计算，我们考虑将这个和式乘以公比q：

\[ qS_n = a_1(q + q^2 + q^3 + \dots + q^n) \]

然后，将两式相减：

\[ S_n - qS_n = a_1(1 - q^n) \]

即：

\[ (1-q)S_n = a_1(1 - q^n) \]

当\(q \neq 1\)时，我们可以解得：

\[ S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} \]

这就是等比数列前n项和的标准公式。如果公比\(q=1\)，则所有项都相等，此时前n项和简单地等于首项乘以项数，即：

\[ S_n = na_1 \]

通过以上步骤，我们得到了等比数列前n项和的两个主要情况下的计算方法。这一公式在解决实际问题时具有广泛的应用价值，尤其是在处理金融、物理等领域的问题时，能够帮助我们快速准确地进行计算。