常用求导与定积分公式（完美）（教学资料）
在数学分析中，求导和定积分是两个非常重要的概念，它们不仅是微积分的核心工具，也是解决实际问题的重要手段。为了帮助大家更好地理解和掌握这些知识，本文将整理一些常用的求导和定积分公式，并结合实例进行讲解。
一、常见函数的求导公式
1. 幂函数求导
若 \( f(x) = x^n \)，则 \( f'(x) = n \cdot x^{n-1} \)。
例如：若 \( f(x) = x^3 \)，则 \( f'(x) = 3x^2 \)。
2. 指数函数求导
若 \( f(x) = e^x \)，则 \( f'(x) = e^x \)。
若 \( f(x) = a^x \)，则 \( f'(x) = a^x \ln(a) \)。
例如：若 \( f(x) = 2^x \)，则 \( f'(x) = 2^x \ln(2) \)。
3. 对数函数求导
若 \( f(x) = \ln(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{x} \)。
若 \( f(x) = \log_a(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{x \ln(a)} \)。
例如：若 \( f(x) = \ln(5x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{x} \)。
4. 三角函数求导
若 \( f(x) = \sin(x) \)，则 \( f'(x) = \cos(x) \)。
若 \( f(x) = \cos(x) \)，则 \( f'(x) = -\sin(x) \)。
例如：若 \( f(x) = \tan(x) \)，则 \( f'(x) = \sec^2(x) \)。
二、常见函数的定积分公式
1. 幂函数定积分
若 \( f(x) = x^n \)，则 \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) （\( n \neq -1 \)）。
例如：若 \( f(x) = x^2 \)，则 \( \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \)。
2. 指数函数定积分
若 \( f(x) = e^x \)，则 \( \int e^x \, dx = e^x + C \)。
若 \( f(x) = a^x \)，则 \( \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C \)。
例如：若 \( f(x) = 3^x \)，则 \( \int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln(3)} + C \)。
3. 对数函数定积分
若 \( f(x) = \ln(x) \)，则 \( \int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - x + C \)。
例如：若 \( f(x) = \ln(2x) \)，则 \( \int \ln(2x) \, dx = x \ln(2x) - x + C \)。
4. 三角函数定积分
若 \( f(x) = \sin(x) \)，则 \( \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C \)。
若 \( f(x) = \cos(x) \)，则 \( \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C \)。
例如：若 \( f(x) = \tan(x) \)，则 \( \int \tan(x) \, dx = -\ln|\cos(x)| + C \)。
三、综合应用示例
假设我们需要计算函数 \( f(x) = x^2 \cdot e^x \) 的不定积分。我们可以利用分部积分法来解决：
\[
\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2 \int x e^x \, dx
\]
继续分部积分：
\[
\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x
\]
因此：
\[
\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) = (x^2 - 2x + 2)e^x + C
\]
通过以上步骤，我们得到了最终结果。
希望本文的内容能够帮助大家更深入地理解求导和定积分的基本公式及其应用。如有疑问或需要进一步探讨，请随时联系。
