线性规划练习题含答案

线性规划是数学优化领域中的一个重要分支，广泛应用于经济学、管理学以及工程学等领域。它通过构建目标函数和约束条件，寻求在有限资源下的最优解。为了帮助大家更好地理解和掌握这一知识点，本文整理了一系列线性规划练习题，并附上详细的答案解析。

练习题一

某工厂生产两种产品A和B，每种产品的利润分别为5元和8元。生产一件产品A需要3小时的人工和4单位的原材料；生产一件产品B需要5小时的人工和6单位的原材料。工厂每天有40小时的人工和50单位的原材料可供使用。问如何安排生产计划才能使工厂获得最大利润？

解答：

设生产x件产品A，y件产品B，则目标函数为：

\[ Z = 5x + 8y \]

约束条件为：

\[ 3x + 5y \leq 40 \]

\[ 4x + 6y \leq 50 \]

\[ x \geq 0, y \geq 0 \]

利用图解法或单纯形法求解，得到最优解为 \( x = 5, y = 5 \)，最大利润为 \( Z = 65 \) 元。

练习题二

一家公司有两个仓库W1和W2，分别存储了100吨和150吨货物。这些货物需要运往三个销售点P1、P2和P3，各点的需求量分别为80吨、90吨和80吨。已知从仓库到销售点的运输成本如下表所示（单位：元/吨）：

| | P1 | P2 | P3 |

|-------|------|------|------|

| W1| 10 | 15 | 20 |

| W2| 12 | 18 | 25 |

问如何分配货物以最小化总运输成本？

解答：

设从仓库W1到销售点P1、P2、P3的运输量分别为 \( x_{11}, x_{12}, x_{13} \)，从仓库W2到销售点P1、P2、P3的运输量分别为 \( x_{21}, x_{22}, x_{23} \)。

目标函数为：

\[ Z = 10x_{11} + 15x_{12} + 20x_{13} + 12x_{21} + 18x_{22} + 25x_{23} \]

约束条件为：

\[ x_{11} + x_{12} + x_{13} \leq 100 \]

\[ x_{21} + x_{22} + x_{23} \leq 150 \]

\[ x_{11} + x_{21} = 80 \]

\[ x_{12} + x_{22} = 90 \]

\[ x_{13} + x_{23} = 80 \]

\[ x_{ij} \geq 0 \]

利用单纯形法求解，得到最优分配方案为：

- W1 → P1: 80吨

- W1 → P2: 20吨

- W2 → P2: 70吨

- W2 → P3: 80吨

最小总运输成本为 \( Z = 2900 \) 元。

以上两道练习题展示了线性规划的基本应用和解题方法。希望读者能够通过实践加深对这一领域的理解。

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希望这篇文章能满足您的需求！如果有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告知。