指数函数及对数函数复习（有详细知识点及习题详细讲解）
一、指数函数的基本概念与性质
指数函数是数学中一种重要的函数形式，其一般表达式为 \( f(x) = a^x \)，其中 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)。以下是指数函数的关键性质：
1. 定义域：指数函数的定义域为全体实数。
2. 值域：当 \( a > 1 \) 时，值域为 \( (0, +\infty) \)；当 \( 0 < a < 1 \) 时，值域同样为 \( (0, +\infty) \)。
3. 单调性：
- 当 \( a > 1 \) 时，函数为严格递增。
- 当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数为严格递减。
4. 特殊点：指数函数恒过点 \( (0, 1) \)，因为 \( a^0 = 1 \)。
二、对数函数的基本概念与性质
对数函数是指数函数的反函数，其一般表达式为 \( f(x) = \log_a x \)，其中 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)。以下是其关键性质：
1. 定义域：对数函数的定义域为 \( (0, +\infty) \)。
2. 值域：对数函数的值域为全体实数。
3. 单调性：
- 当 \( a > 1 \) 时，函数为严格递增。
- 当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数为严格递减。
4. 特殊点：对数函数恒过点 \( (1, 0) \)，因为 \( \log_a 1 = 0 \)。
三、指数函数与对数函数的关系
指数函数和对数函数互为反函数，满足以下关系：
- 若 \( y = a^x \)，则 \( x = \log_a y \)。
- 对数运算的基本公式：
- \( \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y \)
- \( \log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y \)
- \( \log_a (x^n) = n \cdot \log_a x \)
四、典型例题解析
例题 1：已知 \( f(x) = 2^x \)，求 \( f(-2) \) 和 \( f(3) \)。
解：根据指数函数的定义，\( f(-2) = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \)，\( f(3) = 2^3 = 8 \)。
例题 2：解方程 \( \log_3 (x+2) = 2 \)。
解：由对数的定义可得 \( x+2 = 3^2 \)，即 \( x+2 = 9 \)，解得 \( x = 7 \)。
五、总结与练习建议
通过以上知识点的梳理与例题的分析，我们可以更好地掌握指数函数与对数函数的核心内容。建议在学习过程中多进行实际练习，巩固所学知识，并尝试解决更多复杂问题。
希望本文能帮助你系统地复习指数函数与对数函数的相关内容！
