在概率论和统计学中，累积分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）是一个非常重要的概念。它描述了一个随机变量取值小于或等于某个特定值的概率。换句话说，累积分布函数给出了随机变量的分布特性。

累积分布函数通常记作F(x)，其定义为：

\[ F(x) = P(X \leq x) \]

其中，X 是一个随机变量，x 是一个实数。这个函数的值表示随机变量 X 小于或等于 x 的概率。CDF 的主要性质包括：

1. 单调性：累积分布函数是单调递增的，这意味着如果 \( x_1 < x_2 \)，那么 \( F(x_1) \leq F(x_2) \)。

2. 右连续性：累积分布函数在其定义域内是右连续的，即对于任意 \( x \in \mathbb{R} \)，有 \( \lim_{y \to x^+} F(y) = F(x) \)。

3. 极限值：当 \( x \to -\infty \) 时，\( F(x) \to 0 \)；当 \( x \to +\infty \) 时，\( F(x) \to 1 \)。

累积分布函数的一个重要应用是在计算概率时提供了一种统一的方法。例如，如果要计算随机变量 X 落在区间 [a, b] 内的概率，可以使用以下公式：

\[ P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a) \]

此外，累积分布函数也可以用来生成随机数。通过逆变换法，可以根据给定的累积分布函数生成符合该分布的随机数。

总之，累积分布函数是理解随机变量分布的关键工具，广泛应用于各种统计分析和建模中。通过它，我们可以更深入地理解和处理不确定性问题。