线性代数作为大学数学的重要组成部分，是理工科学生必须掌握的基础课程之一。为了帮助同学们更好地理解和复习线性代数的核心知识点，我们整理了这份期末考试试卷及其详细的标准答案。希望通过这份资料，大家能够更加清晰地把握考试的重点和难点。
一、选择题
1. 设矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，则其行列式值为：
- A) -2
- B) 2
- C) 0
- D) 1
答案：A
行列式的计算公式为：\(|A| = ad - bc\)，代入得 \(|A| = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2\)。
2. 若向量组 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 线性无关，则下列哪项一定成立？
- A) 向量组中任意两个向量都线性无关。
- B) 向量组中任意三个向量都线性相关。
- C) 向量组中存在一个向量可以由其他向量线性表示。
- D) 向量组中任意两个向量都线性相关。
答案：A
向量组线性无关意味着不存在一组不全为零的系数使得这些向量的线性组合等于零向量。因此，任意两个向量也必然线性无关。
二、填空题
1. 已知矩阵 \(B = \begin{bmatrix} 5 & 7 \\ 9 & 11 \end{bmatrix}\)，则其逆矩阵 \(B^{-1}\) 为________。
答案：
\[
B^{-1} = \frac{1}{-8} \begin{bmatrix} 11 & -7 \\ -9 & 5 \end{bmatrix}
\]
计算方法为先求出矩阵的行列式，然后利用公式 \(B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{adj}(B)\) 求解。
2. 设向量 \(\mathbf{v} = [3, 4]\)，则其单位化后的向量为________。
答案：
\[
\hat{\mathbf{v}} = \left[\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right]
\]
单位化向量的长度为1，公式为 \(\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}\)。
三、解答题
1. 已知矩阵 \(C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}\)，试判断其是否可逆，并求其逆矩阵（如果可逆）。
解析：
首先计算行列式 \(|C| = (2)(3) - (1)(4) = 6 - 4 = 2\)。因为行列式不为零，所以矩阵 \(C\) 可逆。
接下来，根据公式 \(C^{-1} = \frac{1}{|C|} \text{adj}(C)\)，求得：
\[
C^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}
\]
2. 给定向量组 \(\beta_1 = [1, 0, 1]\)，\(\beta_2 = [0, 1, 1]\)，\(\beta_3 = [1, 1, 0]\)，判断它们是否线性相关。
解析：
构造矩阵 \(D = [\beta_1, \beta_2, \beta_3] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}\)。计算矩阵的秩，若秩小于3，则向量组线性相关；否则线性无关。
经过行变换后，矩阵变为：
\[
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
\]
秩为2，小于3，因此向量组线性相关。
以上便是本次期末考试试卷及详细标准答案的全部内容。希望同学们通过这份材料能够巩固基础知识，提升解题能力。预祝大家考试顺利！
