在数学分析中，三角函数的导数是一个基础且重要的知识点。本文将深入探讨正割函数（secant function）的导数及其推导过程。

正割函数定义为余弦函数的倒数，即：

\[

\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}

\]

为了求解正割函数的导数，我们可以使用商法则。商法则表述如下：

如果 \( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \)，那么其导数为：

\[

f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}

\]

在这里，我们令 \( g(x) = 1 \) 和 \( h(x) = \cos(x) \)。因此，\( g'(x) = 0 \) 而 \( h'(x) = -\sin(x) \)。应用商法则，我们得到：

\[

\sec'(x) = \frac{0 \cdot \cos(x) - 1 \cdot (-\sin(x))}{[\cos(x)]^2} = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}

\]

进一步简化，可以写成：

\[

\sec'(x) = \sec(x) \tan(x)

\]

这个结果表明，正割函数的导数是正割函数与正切函数的乘积。这一性质在微积分中具有广泛的应用，特别是在处理涉及三角函数的积分和微分方程时。

总结来说，正割函数的导数是：

\[

\boxed{\sec'(x) = \sec(x) \tan(x)}

\]