复数-公式汇总（共1页）
在数学领域中，复数是一种非常重要的概念，它扩展了实数的范围，使得方程的解更加完整。以下是关于复数的一些关键公式和定义，供学习和参考。
一、复数的基本定义
复数通常表示为 \( z = a + bi \)，其中：
- \( a \) 是实部；
- \( b \) 是虚部；
- \( i \) 是虚数单位，满足 \( i^2 = -1 \)。
二、复数的运算规则
1. 加法与减法
若 \( z_1 = a + bi \)，\( z_2 = c + di \)，则：
\[
z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i
\]
\[
z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i
\]
2. 乘法
\[
z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
\]
3. 除法
\[
\frac{z_1}{z_2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}
\]
三、复数的模与共轭
1. 模
复数 \( z = a + bi \) 的模为：
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
2. 共轭
复数 \( z = a + bi \) 的共轭为：
\[
\overline{z} = a - bi
\]
四、复数的极坐标形式
复数 \( z = a + bi \) 可以表示为极坐标形式：
\[
z = r(\cos\theta + i\sin\theta)
\]
其中：
- \( r = |z| \) 是模；
- \( \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \) 是辐角。
五、欧拉公式
复数的另一种表达方式是通过欧拉公式：
\[
e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta
\]
由此可得：
\[
z = re^{i\theta}
\]
六、重要性质
1. 模的性质：\( |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| \)
2. 共轭的性质：\( \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} \)
以上就是复数的核心公式汇总，希望对大家的学习有所帮助！
希望这篇内容能够满足您的需求！如果还有其他问题，请随时告知。
