在数学的学习过程中，排列与组合是两个非常重要的概念。它们不仅在理论上有深刻的内涵，在实际应用中也扮演着不可或缺的角色。当我们面对一些复杂的数学问题时，常常需要将排列与组合结合起来考虑，以找到最合适的解决方案。本文将通过几个具体的例子来探讨排列与组合的综合问题。

例题一：密码锁的设计

假设有一个四位数的密码锁，每一位上的数字可以从0到9中选择。如果每个数字只能使用一次，并且第一位数字不能为0，那么这样的密码共有多少种可能？

解析：

这是一个典型的排列问题。由于密码由四个不同的数字组成，且第一位不能为0，我们可以分步计算：

- 第一位有9种选择（1至9）。

- 第二位有剩下的9个数字可供选择（包括0，但不包括第一位已选的数字）。

- 第三位有剩下的8个数字可供选择。

- 第四位有剩下的7个数字可供选择。

因此，总的排列数为：

$$

9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536

$$

例题二：分配任务

某公司有5名员工和3项任务需要完成。每项任务必须由一名员工负责，且每位员工最多只能承担一项任务。问有多少种不同的任务分配方式？

解析：

这是一个组合与排列相结合的问题。首先，我们需要从5名员工中选出3人来承担任务，这属于组合问题；然后，这3个人需要分别负责不同的任务，这属于排列问题。

- 从5名员工中选出3人的组合数为：

$$

C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = 10

$$

- 这3个人可以被分配到3项任务中的排列数为：

$$

P(3, 3) = 3! = 6

$$

因此，总的分配方式为：

$$

C(5, 3) \times P(3, 3) = 10 \times 6 = 60

$$

例题三：抽奖活动

在一个抽奖活动中，共有10张奖券，其中一等奖1张，二等奖2张，三等奖3张，其余为普通奖券。如果有5人参与抽奖，每人抽取一张奖券，且不重复抽取，问一等奖被抽中的概率是多少？

解析：

这是一个涉及组合与概率的问题。首先，我们需要计算所有可能的抽取方式，然后计算一等奖被抽中的情况数。

- 总的抽取方式数为：

$$

P(10, 5) = \frac{10!}{(10-5)!} = 30240

$$

- 一等奖被抽中的情况数为：

$$

C(1, 1) \times C(9, 4) = 1 \times 126 = 126

$$

因此，一等奖被抽中的概率为：

$$

\frac{126}{30240} = \frac{1}{240}

$$

总结

排列与组合的综合问题往往涉及到多个步骤和多种条件限制，解决这类问题的关键在于明确每一步的操作性质（组合或排列），并正确地应用相应的公式进行计算。通过以上几个例子，我们可以看到，排列与组合的应用范围非常广泛，无论是日常生活还是专业领域，都能发挥重要作用。

希望本文能够帮助大家更好地理解和掌握排列与组合的综合问题！